求证a^2+b^2≥1/2(a+b)^2

a^2+b^2≥2ab
2(a^2+b^2)≥a^2+b^2+2ab
2(a^2+b^2)≥(a+b)^2
a^2+b^2≥1/2(a+b)^2

a^2+b^2≥1/2(a+b)^2
a^2+b^2≥1/2a^2+ab+1/2b^2
1/2a^2-ab+1/2b^2≥0
1/2(a^2-2ab+b^2)≥0
1/2(a-b)^2≥0
(a-b)^2≥0

a²+b²>= (a+b)²/2
2a²+2b²>=(a+b)²
2a²+2b²>=a²+2ab+b²
a²+b²-2ab>=0
(a-b)²>=0
衡成立。
证明过程从最后一步往上反着写就行了。

因为

(a-b)^2>=0

则 a^2+b^2>=2ab

则 2(a^2+b^2)>=a^2+b^2+2ab

则 a^2+b^2≥1/2(a+b)^2

得证